¿Seras capaz de resolver estos acertijos?

Un acertijo muy conocido fue el hecho a unos estudiantes de la Universidad de Harvard en el cual solo el 20% de los encuestados respondieron bien, esto quiere decir que hasta las mentes mas brillantes se equivocan. Según los resultados obtenidos en la encuesta fue que nuestro cerebro trabaja a dos niveles de profundidad: el pensamiento mas superficial, y el pensamiento mas lento y analítico; y nosotros normalmente utilizamos el pensamiento superficial e intuitivo y esto hace que en algunas situaciones cometamos algunos errores en algunas cosas muy básicas como en los acertijos a continuación.

 El primer acertijo fue:

Un bate y una bola cuestan 1,10 dólares. El bate cuesta un dólar más que la bola. Así que, ¿cuánto cuesta la bola?

A primera vista, nosotros diríamos que es un acertijo muy sencillo así que nuestro cerebro utiliza el pensamiento superficial y nos lleva a cometer un error por esto debemos empezar a razonar mucho mas y utilizar el pensamiento mas analítico. Si su respuesta fue que la bola costaba 0,10 centavos y el bate 1 dólar esta muy equivocado, y debería analizar mas el acertijo.

El segundo acertijo fue:

Si 5 máquinas hacen 5 artículos en 5 minutos, ¿cuánto tiempo demoraran 

100 máquinas en hacer 100 artículos?

Te damos la oportunidad de pensar y poner tu respuesta en los comentarios,y así puedes comparar respuestas con los demas.=)

Los tres problemas de la antigüedad.

En muchas ocasiones me he preguntado si aun en las escuelas son indispensables instrumentos como la regla y el compás para construcciones geométricas o si tan solo la tecnología nos ha ganado tanto terreno que solo utilizan programas informáticos para estas construcciones; claro, estos programas en realidad son de mucha ayuda, pues nos ahorran tiempo y aseguran en la mayoría un trabajo correcto, pero el realizar nuestras propias construcciones teniendo contacto físico con las herramientas, les aseguro que puede ser mas divertido que estar frente a una pantalla de un computador, ademas de que lo aprendido tiene mas grado de retención.

Existen tres maravillosos problemas de la antigüedad que fueron tratados a punta de regla y compás, los cuales son:

La duplicación del cubo. Hallar mediante el uso de regla y compás el lado de un cubo talque que su volumen sea el doble de otro cubo de lado dado.

El primero en abordar el problema sin éxito fue el griego Hipócrates de Quíos. Basándose en el mismo planteamiento lo intentaron otros matemáticos posteriores, tales como arquites de Tarento, Menecmo y Eratostenes de Cirene, pero todos ellos presentan soluciones aproximadas, en ninguna de las cuales puede resolverse el problema en forma exacta.

Trisección de un ángulo. Encontrar un ángulo cuya medida sea un tercio de otro ángulo dado, utilizando únicamente regla y compás.
este problema clásico de la antigüedad sobrevivió sin ser resuelto hasta el siglo XIX.

  Cuadratura del Circulo. Hallar con solo regla y compás un cuadrado que posea un área que sea igual a la de un circulo dado. 

cuando uno como estudiante se propone innovar, sacando nuevos interrogantes sobre algo ya probado, nos encontramos con grandiosas cosas que nos permiten establecer que tan eficaces somos y si tal vez podremos alguna vez crear nuestro propio proyecto de investigación y exponerlo sin tener dudas sobre nuestros razonamientos; como les decía al inicio, las herramientas como la regla y el compás no pueden dejar de usarse, por que gracias a estas es que tenemos a la mano todo un mundo de geometría que nos lleva a conocer cosas asombrosas y convencernos de que todo en nuestro mundo tiene un componente geométrico.

Terorema fundamental de la Geometría Euclidiana

Así como hay un teorema fundametal del cálculo y del álgebra, también hay un teorema fundamental de la geometría propuesta por Tales de Mileto, el cual nos dice
Teorema: Si una recta paralela a un lado de un triángulo interseca a los otros dos lados, entonces divide a éstos proporcionalmente.

 Hipótesis:  DE//BC

Tésis: AB/AE= BC/DE

Esto se lee: AB es a AE igual BC es a DE






Demostración:

Calcularemos el área del triágulo ABC de dos formas (lo cuál establecerá una ecuación).
El doble del área de ABC es AB . BC. Pero también es igual a la suma de las áreas (duplicadas) del triángulo AED y el trapecio BCDE. Por lo tanto:

AB . BC = AE . ED + ( DE + BC) . EB

( AB - EB ) . BC = ( AE + EB) . ED

Entonces se tiene como resultado 

AB/AE = BC

Este teorema nos servirá mucho para demostrar la proporcionalidad de dos objetos

La geometría en la tecnología

Gráficas por computador: diseño  asistido por computador


La tecnología a evolucionado a través de los años y con ello han creado mecanismos o sistemas en la cual permitan utilizar la tecnología como herramienta esencial para la geometría. Las gráficas por computador han evolucionado el trabajo de los disañadores. El disañador debe ser capaz de imaginar y analizar formas complejas compuestas de figuras geométricas.

En esta imagen se puede apreciar un diseño de un automóvil genarado por un computador. El computador puede desplegar en la pantalla este diseño en infinidad de posiciones.

Tambien se puede apreciar a unos diseñadores manejando los terminales de un computador. El diseñador de la derecha usa una pluma electrónica para alterar las dimensiones de una sección de un modelo. Al hacer esto, el diseñador se comunica con el computador.
El diseñador de la izquierda está trabajando con una sección transversal de un modelo tridimensional. El modelo que tiene delante se utiliza para dar órdenes al computador.
Al colocar la pluma electrónica en diferentes cuadros, puede añadir o borrar pociones del dibujo. También puede pedir al computador que amplie una parte del dibujo.

Podemos observar como la tecnología ha avanzado impresionante y como la podemos implementar con geometría para diseñar, construir y demostrar diferentes figuras geométricas.

La sucesión infinita ∞

Existen muchas sucesiones infinitas en la matemática, pero la mas famosa es la Sucesión de Fibonacci. Esta sucesión es una de las mas utilizadas por los matemáticos, arquitectos, y muchos mas; aparece prácticamente en todas las cosas de nuestro universo, tiene muchas aplicaciones en la matemática, y en diferentes elementos biológicos. Ejemplos claros son la disposición de las ramas de los arboles, las semillas de las flores, las hojas de un tallo, y aun mucho mas sorprendentes es que también se cumplen en los huracanes e incluso en galaxias enteras, desde donde se obtiene la idea del espiral de Fibonacci. Un espiral de Fibonacci es una serie de cuartos de circulo conectados que se pueden dibujar dentro de una seria de cuadros regulados por numero de Fibonacci para todas las dimensiones.

La sucesión de Fibonacci consiste en una sucesión infinita de números naturales:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597....

Seguidas por la ecuación.

Donde: 

f_n  es el termino en posición "n"

f_n-1 es el termino anterior (n-1)

f_n-2 es el anterior a ese (n-2)

Para que esto quede mas claro, un ejemplo seria calcular el cuarto termino utilizando la ecuacion:

f₀=0   f₁=1   f₂=1   f₃=2

  f₄= f_4-1 + f_4-2

f₄= f₃ + f₂

f₄= 2 + 1 = 3

Y como dato adicional, si tomas dos números Fibonacci consecutivos (uno detrás del otro) su cociente esta muy cerca de la razón áurea "φ"que tiene el valor aproximado de 1.618034...

¿Cuál sería tu demostración favorita?

Para todas las personas como humanos que somos, nos gustaría llegar a realizar algo en nuestras vidas que fuera motivo para ser recordados por mucho tiempo así como recordamos a los grandes matemáticos y geómetras, que nos dieron las bases de cada una de estas disciplinas, y no nos hemos podido dar cuenta de las grandes cualidades que nos han traído hasta donde hoy estamos.

Si hiciéramos cuentas y recordáramos todos los esfuerzos y sacrificios, que hemos hecho para poder lograr metas y labrar camino para que en este instante estemos disfrutando de todo el conocimiento que en nuestra universidad encontramos, para apropiarnos de este e interiorizarlo; aplicándolo conjuntamente con nuestros principios éticos y desempeño profesional, pudiendo brindar nuestros servicios con la mejor aptitud, transmitiendo a la sociedad la seguridad de que nuestra educación fue acertada y concisa, quitando el temor de un futuro desastroso por la ineficacia de algunas instituciones para formar personas integras y que en verdad hallan aprendido para mejorar la cultura de la civilización en la que hoy nos encontramos.

Para empezar, evaluemos lo que hemos hecho hasta ahora, valoremos el interés que le hemos puesto a nuestra formación para que en verdad de frutos de buena calidad, preguntémonos si estamos conformes con nuestros esfuerzos y lo que talvez nos falta para lograr con más facilidad nuestros propósitos; si tenemos alguna distracción o impedimento, que estén frenando nuestro aprendizaje, y a partir de ello empecemos a buscar las soluciones más adecuadas para no desfallecer a mitad de camino  y seguir en la lucha por dejar una huella en la humanidad.

Y ahora, ¿Qué has descubierto de tu vida?, tengo la certeza que no estoy muy alejada de la realidad porque al igual que muchos, he tenido tropiezos al igual que innumerables motivos para sonreír y he aprendido de los fracasos para mejorar en los siguientes intentos, porque al igual que resolvemos un problema matemático o un dilema geométrico, los errores siempre estarán presentes, pero lo mejor es que de ellos aprendemos para no volverlos a cometer; demuéstrate a ti mismo que las metas logradas hasta hoy no han sido en vano y que además te esperan muchas cosas maravillosas, las cuales debes buscar con perseverancia y con espíritu de guerrero , para que cada actividad que realices en el día sea un paso para llegar a triunfar. 

Quisiera que me respondieran si no es verdad que tu demostración favorita es ahora, lo que conoces de ti mismo que desconocías y que te has dado cuenta de todo lo que puedes lograr en la vida para sentirte conforme y satisfecho con el pasar de los años.

La geometría, fiel compañera de la arquitectura.

Vivimos en un mundo muy diverso, en un mundo que no se queda quieto, sino que por el contrario esta en constante cambio; pero lo que si les puedo asegurar es que en cada estructura que conforma nuestra realidad esta presente la geometría; pues es inconcebible negar la presencia de figuras geométricas por mas irregulares que sean en cada objeto a nuestro alrededor, pues hasta nuestro cuerpo esta constituido por estas.

si recuerdan en mi entrega anterior titulada: Los innumerables usos de los cuadriláteros, les expuse cada uno de los tipos de cuadriláteros, ilustrando su presencia en los objetos ya conocidos por nosotros; pero hay algo importante y es que la presencia de la geometría se extiende a cosas mucho mas maravillosas como lo es el Rectángulo Dorado o Rectángulo Áureo; claro, se estarán preguntando, ¿y eso que es?, por ello la definición de este la presento a continuación:

El rectángulo áureo es un rectángulo que posee una proporcionalidad entre sus lados igual a la razón áurea; que se puede construir a partir de la regla y compás siguiendo los siguientes pasos:

1. se construye un cuadrado de lado unidad ABCD.

2. traza una linea desde la mitad del lado del cuadrado (G) hasta una de sus esquinas, dando un segmento GC.

3. empleando esta linea GC como radio, se coloca la punta del compás en la mitad del cuadrado y se abate hasta cortar en E.

4. se completa el rectángulo AEDF, así como el rectángulo BCEF. 

Ahora ya conociendo nuestro rectángulo áureo, nos remontamos a conocer las construcciones arquitectónicas de los griegos, al considerar el rectángulo áureo como una de las figuras geométricas mas hermosamente proporcionadas, por lo cual construyeron el Partenón de Atenas en el siglo V antes de cristo.

La relación entre las partes, el techo y las columnas del Partenón, en Atenas.

Nos podemos dar cuenta de los usos mas curiosos que la geometría  ha aportado al arte y a la arquitectura; es por ello que no hay motivo para que nos alejemos de la geometría por considerarla aburrida o difícil, ya que en realidad no lo es, pues hace parte de todo lo que poseemos.

Un trabajo de largos años

El teorema de Fermat es uno de los mas conocidos del mundo, fue conjeturado por Pierre de Fermat en 1637 pero nunca fue demostrado hasta 1995 por el británico Andrew Wiles , muchos matemáticos lucharon por 358 años para demostrar este teorema tan famoso.

    "Si n es un numero entero mayor que 2, entonces no existen números 

        positivos X, Y y Z tales que se cumpla la igualdad."

Desde mi punto de vista el proceso que realizo Wiles para demostrar este teorema es admirable, ya que paso muchos años de su vida tratando de hacerlo, es muy admirable su perseverancia y el esfuerzo que realizo. Les contare un poco acerca de esta historia para que comprendan un poco de los que les estoy diciendo.

Wiles se encontró por primera vez con el Teorema de Fermat a los 10 años cuando encontró un libro sobre este en la librería mientras volvía del colegio. El teorema le fascino porque, pese a ser tan simple que lo podía entender el mismo con 10 años, era tan complejo que nadie lo había resuelto en sus tres siglos de historia. Muchos matemáticos incluso sostenían que era imposible de resolver. A partir de ese momento Wiles trato de resolverlo ya que para su edad era un gran reto, pero el sabia que las habilidades matemáticas que el tenia en ese momento no le servirían para resolver el teorema, de modo que lo olvido hasta 1986. Y después de varios años y de gran dedicación logro demostrarlo en 1995.

Wiles decía: 

.... no hay otro problema que vaya a significar lo mismo para mi. Tuve este raro privilegio de ser capaz de alcanzar en mi edad adulta lo que había sido el sueño de mi infancia. Sé que es un raro privilegio pero se que si se puede hacer, es mas gratificante que ninguna otra cosa que uno pueda imaginarse.

Es una historia donde él nunca se rindió y siguió adelante siempre sin desfallecer buscando cumplir el sueño de demostrar el teorema de Fermat. Wiles nos deja una enseñanza muy valiosa, que debemos siempre luchar por lo que queremos así nos lleve mucho años de nuestra vida, ya que después vamos a estar muy gratificados cuando cumplamos lo que queremos.

NO TE CONFUNDAS...

En el universo existe la geometría euclidiana, que es lo que estamos hablando anteriormente, pero hubieron dos matemáticos que fueron más allá de los postulados de Euclides y determinaron dos nuevas geometrías que cambiaron el curso de la historia

GEOMETRÍA NO EUCLIDIANA

Se dividen en en dos ramas:

LA GEOMETRÍA HIPERBÓLICA

Este tipo de geometría se ha ido desarrollando abstractamente a partir del conjunto de conocimientos que surgieron en el estudio del Quinto Postulado de Euclides, pues nace al negarlo: "Son muchas las paralelas a una recta que pasan por un punto fuera de ella"

Esta geometría surgió a principio del siglo XIX por el matemático ruso Lobachevsky, el cual, logró construir la geometría hiperbólica a partir del intento de negar el quinto postulado de Euclides y así tratar de obtener una contradicción. En lugar de obtener una contradicción, logró obtener una curiosa geometría en la que los tres ángulos de un triángulo sumaban menos de 180°.



Esta geometría fue aceptada a finales del siglo XIX, cuando Beltrami demostró que la geometría hiperbólica  coincide
con la geometría interseca de
cierta superficie y Klein dio la interpretación proyectiva de esta geometría.




GEOMETRÍA ELÍPTICA

Este tipo de geometría fue propuesta por el matemático alemán bernhard Riemann. Esta geometría satisface sólo los cuatro primeros postulados de Euclides y tiene curvatura positiva. En esta rama de geometría, por ejemplo, la suma de os tres ángulos interiores de un triángulo es mayor a 180°.





La esfera es un modelo de geometría elíptica bidimensional, los meridianos resultan ser líneas geodésicas mientras que los paralelos son líneas de curvatura no mínima.