¿Seras capaz de resolver estos acertijos?

Un acertijo muy conocido fue el hecho a unos estudiantes de la Universidad de Harvard en el cual solo el 20% de los encuestados respondieron bien, esto quiere decir que hasta las mentes mas brillantes se equivocan. Según los resultados obtenidos en la encuesta fue que nuestro cerebro trabaja a dos niveles de profundidad: el pensamiento mas superficial, y el pensamiento mas lento y analítico; y nosotros normalmente utilizamos el pensamiento superficial e intuitivo y esto hace que en algunas situaciones cometamos algunos errores en algunas cosas muy básicas como en los acertijos a continuación.

 El primer acertijo fue:

Un bate y una bola cuestan 1,10 dólares. El bate cuesta un dólar más que la bola. Así que, ¿cuánto cuesta la bola?

A primera vista, nosotros diríamos que es un acertijo muy sencillo así que nuestro cerebro utiliza el pensamiento superficial y nos lleva a cometer un error por esto debemos empezar a razonar mucho mas y utilizar el pensamiento mas analítico. Si su respuesta fue que la bola costaba 0,10 centavos y el bate 1 dólar esta muy equivocado, y debería analizar mas el acertijo.

El segundo acertijo fue:

Si 5 máquinas hacen 5 artículos en 5 minutos, ¿cuánto tiempo demoraran 

100 máquinas en hacer 100 artículos?

Te damos la oportunidad de pensar y poner tu respuesta en los comentarios,y así puedes comparar respuestas con los demas.=)

Los tres problemas de la antigüedad.

En muchas ocasiones me he preguntado si aun en las escuelas son indispensables instrumentos como la regla y el compás para construcciones geométricas o si tan solo la tecnología nos ha ganado tanto terreno que solo utilizan programas informáticos para estas construcciones; claro, estos programas en realidad son de mucha ayuda, pues nos ahorran tiempo y aseguran en la mayoría un trabajo correcto, pero el realizar nuestras propias construcciones teniendo contacto físico con las herramientas, les aseguro que puede ser mas divertido que estar frente a una pantalla de un computador, ademas de que lo aprendido tiene mas grado de retención.

Existen tres maravillosos problemas de la antigüedad que fueron tratados a punta de regla y compás, los cuales son:

La duplicación del cubo. Hallar mediante el uso de regla y compás el lado de un cubo talque que su volumen sea el doble de otro cubo de lado dado.

El primero en abordar el problema sin éxito fue el griego Hipócrates de Quíos. Basándose en el mismo planteamiento lo intentaron otros matemáticos posteriores, tales como arquites de Tarento, Menecmo y Eratostenes de Cirene, pero todos ellos presentan soluciones aproximadas, en ninguna de las cuales puede resolverse el problema en forma exacta.

Trisección de un ángulo. Encontrar un ángulo cuya medida sea un tercio de otro ángulo dado, utilizando únicamente regla y compás.
este problema clásico de la antigüedad sobrevivió sin ser resuelto hasta el siglo XIX.

  Cuadratura del Circulo. Hallar con solo regla y compás un cuadrado que posea un área que sea igual a la de un circulo dado. 

cuando uno como estudiante se propone innovar, sacando nuevos interrogantes sobre algo ya probado, nos encontramos con grandiosas cosas que nos permiten establecer que tan eficaces somos y si tal vez podremos alguna vez crear nuestro propio proyecto de investigación y exponerlo sin tener dudas sobre nuestros razonamientos; como les decía al inicio, las herramientas como la regla y el compás no pueden dejar de usarse, por que gracias a estas es que tenemos a la mano todo un mundo de geometría que nos lleva a conocer cosas asombrosas y convencernos de que todo en nuestro mundo tiene un componente geométrico.

Terorema fundamental de la Geometría Euclidiana

Así como hay un teorema fundametal del cálculo y del álgebra, también hay un teorema fundamental de la geometría propuesta por Tales de Mileto, el cual nos dice
Teorema: Si una recta paralela a un lado de un triángulo interseca a los otros dos lados, entonces divide a éstos proporcionalmente.

 Hipótesis:  DE//BC

Tésis: AB/AE= BC/DE

Esto se lee: AB es a AE igual BC es a DE






Demostración:

Calcularemos el área del triágulo ABC de dos formas (lo cuál establecerá una ecuación).
El doble del área de ABC es AB . BC. Pero también es igual a la suma de las áreas (duplicadas) del triángulo AED y el trapecio BCDE. Por lo tanto:

AB . BC = AE . ED + ( DE + BC) . EB

( AB - EB ) . BC = ( AE + EB) . ED

Entonces se tiene como resultado 

AB/AE = BC

Este teorema nos servirá mucho para demostrar la proporcionalidad de dos objetos

La geometría en la tecnología

Gráficas por computador: diseño  asistido por computador


La tecnología a evolucionado a través de los años y con ello han creado mecanismos o sistemas en la cual permitan utilizar la tecnología como herramienta esencial para la geometría. Las gráficas por computador han evolucionado el trabajo de los disañadores. El disañador debe ser capaz de imaginar y analizar formas complejas compuestas de figuras geométricas.

En esta imagen se puede apreciar un diseño de un automóvil genarado por un computador. El computador puede desplegar en la pantalla este diseño en infinidad de posiciones.

Tambien se puede apreciar a unos diseñadores manejando los terminales de un computador. El diseñador de la derecha usa una pluma electrónica para alterar las dimensiones de una sección de un modelo. Al hacer esto, el diseñador se comunica con el computador.
El diseñador de la izquierda está trabajando con una sección transversal de un modelo tridimensional. El modelo que tiene delante se utiliza para dar órdenes al computador.
Al colocar la pluma electrónica en diferentes cuadros, puede añadir o borrar pociones del dibujo. También puede pedir al computador que amplie una parte del dibujo.

Podemos observar como la tecnología ha avanzado impresionante y como la podemos implementar con geometría para diseñar, construir y demostrar diferentes figuras geométricas.

La sucesión infinita ∞

Existen muchas sucesiones infinitas en la matemática, pero la mas famosa es la Sucesión de Fibonacci. Esta sucesión es una de las mas utilizadas por los matemáticos, arquitectos, y muchos mas; aparece prácticamente en todas las cosas de nuestro universo, tiene muchas aplicaciones en la matemática, y en diferentes elementos biológicos. Ejemplos claros son la disposición de las ramas de los arboles, las semillas de las flores, las hojas de un tallo, y aun mucho mas sorprendentes es que también se cumplen en los huracanes e incluso en galaxias enteras, desde donde se obtiene la idea del espiral de Fibonacci. Un espiral de Fibonacci es una serie de cuartos de circulo conectados que se pueden dibujar dentro de una seria de cuadros regulados por numero de Fibonacci para todas las dimensiones.

La sucesión de Fibonacci consiste en una sucesión infinita de números naturales:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597....

Seguidas por la ecuación.

Donde: 

f_n  es el termino en posición "n"

f_n-1 es el termino anterior (n-1)

f_n-2 es el anterior a ese (n-2)

Para que esto quede mas claro, un ejemplo seria calcular el cuarto termino utilizando la ecuacion:

f₀=0   f₁=1   f₂=1   f₃=2

  f₄= f_4-1 + f_4-2

f₄= f₃ + f₂

f₄= 2 + 1 = 3

Y como dato adicional, si tomas dos números Fibonacci consecutivos (uno detrás del otro) su cociente esta muy cerca de la razón áurea "φ"que tiene el valor aproximado de 1.618034...

¿Cuál sería tu demostración favorita?

Para todas las personas como humanos que somos, nos gustaría llegar a realizar algo en nuestras vidas que fuera motivo para ser recordados por mucho tiempo así como recordamos a los grandes matemáticos y geómetras, que nos dieron las bases de cada una de estas disciplinas, y no nos hemos podido dar cuenta de las grandes cualidades que nos han traído hasta donde hoy estamos.

Si hiciéramos cuentas y recordáramos todos los esfuerzos y sacrificios, que hemos hecho para poder lograr metas y labrar camino para que en este instante estemos disfrutando de todo el conocimiento que en nuestra universidad encontramos, para apropiarnos de este e interiorizarlo; aplicándolo conjuntamente con nuestros principios éticos y desempeño profesional, pudiendo brindar nuestros servicios con la mejor aptitud, transmitiendo a la sociedad la seguridad de que nuestra educación fue acertada y concisa, quitando el temor de un futuro desastroso por la ineficacia de algunas instituciones para formar personas integras y que en verdad hallan aprendido para mejorar la cultura de la civilización en la que hoy nos encontramos.

Para empezar, evaluemos lo que hemos hecho hasta ahora, valoremos el interés que le hemos puesto a nuestra formación para que en verdad de frutos de buena calidad, preguntémonos si estamos conformes con nuestros esfuerzos y lo que talvez nos falta para lograr con más facilidad nuestros propósitos; si tenemos alguna distracción o impedimento, que estén frenando nuestro aprendizaje, y a partir de ello empecemos a buscar las soluciones más adecuadas para no desfallecer a mitad de camino  y seguir en la lucha por dejar una huella en la humanidad.

Y ahora, ¿Qué has descubierto de tu vida?, tengo la certeza que no estoy muy alejada de la realidad porque al igual que muchos, he tenido tropiezos al igual que innumerables motivos para sonreír y he aprendido de los fracasos para mejorar en los siguientes intentos, porque al igual que resolvemos un problema matemático o un dilema geométrico, los errores siempre estarán presentes, pero lo mejor es que de ellos aprendemos para no volverlos a cometer; demuéstrate a ti mismo que las metas logradas hasta hoy no han sido en vano y que además te esperan muchas cosas maravillosas, las cuales debes buscar con perseverancia y con espíritu de guerrero , para que cada actividad que realices en el día sea un paso para llegar a triunfar. 

Quisiera que me respondieran si no es verdad que tu demostración favorita es ahora, lo que conoces de ti mismo que desconocías y que te has dado cuenta de todo lo que puedes lograr en la vida para sentirte conforme y satisfecho con el pasar de los años.

La geometría, fiel compañera de la arquitectura.

Vivimos en un mundo muy diverso, en un mundo que no se queda quieto, sino que por el contrario esta en constante cambio; pero lo que si les puedo asegurar es que en cada estructura que conforma nuestra realidad esta presente la geometría; pues es inconcebible negar la presencia de figuras geométricas por mas irregulares que sean en cada objeto a nuestro alrededor, pues hasta nuestro cuerpo esta constituido por estas.

si recuerdan en mi entrega anterior titulada: Los innumerables usos de los cuadriláteros, les expuse cada uno de los tipos de cuadriláteros, ilustrando su presencia en los objetos ya conocidos por nosotros; pero hay algo importante y es que la presencia de la geometría se extiende a cosas mucho mas maravillosas como lo es el Rectángulo Dorado o Rectángulo Áureo; claro, se estarán preguntando, ¿y eso que es?, por ello la definición de este la presento a continuación:

El rectángulo áureo es un rectángulo que posee una proporcionalidad entre sus lados igual a la razón áurea; que se puede construir a partir de la regla y compás siguiendo los siguientes pasos:

1. se construye un cuadrado de lado unidad ABCD.

2. traza una linea desde la mitad del lado del cuadrado (G) hasta una de sus esquinas, dando un segmento GC.

3. empleando esta linea GC como radio, se coloca la punta del compás en la mitad del cuadrado y se abate hasta cortar en E.

4. se completa el rectángulo AEDF, así como el rectángulo BCEF. 

Ahora ya conociendo nuestro rectángulo áureo, nos remontamos a conocer las construcciones arquitectónicas de los griegos, al considerar el rectángulo áureo como una de las figuras geométricas mas hermosamente proporcionadas, por lo cual construyeron el Partenón de Atenas en el siglo V antes de cristo.

La relación entre las partes, el techo y las columnas del Partenón, en Atenas.

Nos podemos dar cuenta de los usos mas curiosos que la geometría  ha aportado al arte y a la arquitectura; es por ello que no hay motivo para que nos alejemos de la geometría por considerarla aburrida o difícil, ya que en realidad no lo es, pues hace parte de todo lo que poseemos.

Un trabajo de largos años

El teorema de Fermat es uno de los mas conocidos del mundo, fue conjeturado por Pierre de Fermat en 1637 pero nunca fue demostrado hasta 1995 por el británico Andrew Wiles , muchos matemáticos lucharon por 358 años para demostrar este teorema tan famoso.

    "Si n es un numero entero mayor que 2, entonces no existen números 

        positivos X, Y y Z tales que se cumpla la igualdad."

Desde mi punto de vista el proceso que realizo Wiles para demostrar este teorema es admirable, ya que paso muchos años de su vida tratando de hacerlo, es muy admirable su perseverancia y el esfuerzo que realizo. Les contare un poco acerca de esta historia para que comprendan un poco de los que les estoy diciendo.

Wiles se encontró por primera vez con el Teorema de Fermat a los 10 años cuando encontró un libro sobre este en la librería mientras volvía del colegio. El teorema le fascino porque, pese a ser tan simple que lo podía entender el mismo con 10 años, era tan complejo que nadie lo había resuelto en sus tres siglos de historia. Muchos matemáticos incluso sostenían que era imposible de resolver. A partir de ese momento Wiles trato de resolverlo ya que para su edad era un gran reto, pero el sabia que las habilidades matemáticas que el tenia en ese momento no le servirían para resolver el teorema, de modo que lo olvido hasta 1986. Y después de varios años y de gran dedicación logro demostrarlo en 1995.

Wiles decía: 

.... no hay otro problema que vaya a significar lo mismo para mi. Tuve este raro privilegio de ser capaz de alcanzar en mi edad adulta lo que había sido el sueño de mi infancia. Sé que es un raro privilegio pero se que si se puede hacer, es mas gratificante que ninguna otra cosa que uno pueda imaginarse.

Es una historia donde él nunca se rindió y siguió adelante siempre sin desfallecer buscando cumplir el sueño de demostrar el teorema de Fermat. Wiles nos deja una enseñanza muy valiosa, que debemos siempre luchar por lo que queremos así nos lleve mucho años de nuestra vida, ya que después vamos a estar muy gratificados cuando cumplamos lo que queremos.

NO TE CONFUNDAS...

En el universo existe la geometría euclidiana, que es lo que estamos hablando anteriormente, pero hubieron dos matemáticos que fueron más allá de los postulados de Euclides y determinaron dos nuevas geometrías que cambiaron el curso de la historia

GEOMETRÍA NO EUCLIDIANA

Se dividen en en dos ramas:

LA GEOMETRÍA HIPERBÓLICA

Este tipo de geometría se ha ido desarrollando abstractamente a partir del conjunto de conocimientos que surgieron en el estudio del Quinto Postulado de Euclides, pues nace al negarlo: "Son muchas las paralelas a una recta que pasan por un punto fuera de ella"

Esta geometría surgió a principio del siglo XIX por el matemático ruso Lobachevsky, el cual, logró construir la geometría hiperbólica a partir del intento de negar el quinto postulado de Euclides y así tratar de obtener una contradicción. En lugar de obtener una contradicción, logró obtener una curiosa geometría en la que los tres ángulos de un triángulo sumaban menos de 180°.



Esta geometría fue aceptada a finales del siglo XIX, cuando Beltrami demostró que la geometría hiperbólica  coincide
con la geometría interseca de
cierta superficie y Klein dio la interpretación proyectiva de esta geometría.




GEOMETRÍA ELÍPTICA

Este tipo de geometría fue propuesta por el matemático alemán bernhard Riemann. Esta geometría satisface sólo los cuatro primeros postulados de Euclides y tiene curvatura positiva. En esta rama de geometría, por ejemplo, la suma de os tres ángulos interiores de un triángulo es mayor a 180°.





La esfera es un modelo de geometría elíptica bidimensional, los meridianos resultan ser líneas geodésicas mientras que los paralelos son líneas de curvatura no mínima.

Los innumerables usos de los cuadriláteros.

" Nuestro mundo esta lleno de ejemplos de figuras de cuatro lados de todas las formas y tamaños que se pueden clasificar en función de los lados, de los ángulos y de las relaciones entre los ángulos y los lados." Geometría de Clemens.

Como seres humanos pensantes que somos, hemos estado en constantes cambios que nos hacen cada día portadores de relevante información que ayudaremos a perpetuar si la adoptamos y manejamos de forma correcta. Como les ilustre en principio, nuestro mundo esta lleno de una innumerable cantidad de estructuras de cuatro lados que hacen parte del buen funcionamiento de la sociedad en que nos encontramos.

Estructuras de casas, edificios y objetos que a diario utilizamos como lo es una hoja de papel; hacen  referencia a lo que llamamos cuadriláteros y polígonos.

Haremos un entretenido viaje e intentaremos que sea corto pero muy entretenido sobre cada uno de los tipos de cuadriláteros y polígonos y sus propiedades mas concretas.

Para empezar, no esta demás recordar que un cuadrilátero es la unión de cuatro segmentos determinados por cuatro puntos donde tres de ellos no son colineales, y que dichos segmentos se intersecan solo en sus extremos.

Se habían preguntado alguna vez, el ¿por que del nombre cuadrilátero?, con una simple inferencia podemos convencernos por el hecho de que estas figuras poseen cuatro lados. Ahora procedemos a contarles los tipos básicos de cuadriláteros, que con sus propiedades son utilizados en la construcción de algunas estructuras y así mismo identificados en estas:

Trapecio: Es un cuadrilátero con exactamente dos lados paralelos.

como observamos este techo de casa tiene forma de trapecio.

Paralelogramo: cuadrilátero con ambos pares de lados opuestos paralelos.

en esta estructura isostatica, observamos que los paralelogramos son esenciales .

Rectángulo. es un paralelogramos con la particularidad que todos sus ángulos son rectos.

Esta mesa tiene una estructura rectangular.

Rombo. es un paralelogramo con la característica que sus cuatro lados son congruentes.(ver articulo de congruencia.)

Este tejido ilustra la particularidad del rombo.

Cuadrado. Este es en realidad un rectángulo con sus cuatro lados congruentes.

En este circulo de plaza, son de real importancia incluir los cuadrados.

Como les hemos ilustrado, las diferentes figuras geométricas hacen parte de nuestra realidad y esperamos que hayan dispuesto observar y analizar los diferentes objetos que deben su existencia a las estructuras que son modelos de figuras geométricas, pues una de las propiedades mas importantes de estas, son la resistencia que tienen y que por ello en las diferentes construcciones es difícil prescindir de estas.

LA GEOMETRÍA EN NUESTRO MUNDO

La geometría a la hora de la verdad puede ayudarnos a hacer, crear o diseñar distintas obras, monumentos y maravillas que han surgido a lo largo de nuestra vida.

Daremos un ejemplo exacto y se podría decir fantástico en cuanto al arte y es ¿cómo creó Leonardo da Vinci su más grande, hermosa y reconocida pintura La gioconda?

Leonardo al tomar algunos puntos de ancla importantes, en esta obra se genera una estructura geométrica que coincide con elementos del rostro y cuerpo del personaje, en interacción con el lejano fondo.

Las fracciones del enigmático rostro de la conocida Mona Lisa, están determinadas por una estrella de David de doble línea, inscrita en un círculo de doble línea tambien.

La estrella de David circunscrita, es a su vez un elemento estructurado de todos los cuerpos platónicos. Esta figura conocida como "cubo de metatron" y es una última estapa de la figura conocida como "flor de la vida"











Además, podemos corroborar que la geometría es coincidente con la proporción áurea o espiral de fibonacci

CONGRUENCIA

Congruencia se trata de una característica que se comprende a partir de un vínculo entre dos cosas o más.
Matemáticamente, dos figuras geométricas son congruentes  si tienen dos lados iguales y el mismo tamaño.
Primero se establecerán algunos conceptos útiles para trabajar con triángulos congruentes

Un ángulo y el lado opuesto a éste se marcan con la misma letra; el ángulo con letra  mayúscula, y el ángulo, con minúscula.

Dos lados comprenden un ángulo si el vértice del ángulo es un extremo de ambos lados.

Dos ángulos comprenden un lado si los extremos del lado son vértices de los dos ángulos





 
Ahora de lo anterior, podemos concluir tres postulados importantes de la congruencia

POSTULADO LAL
Si los lados que forman a un ángulo, y éste, son congruentes con dos lados y el ángulo comprendido por estos de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.






POSTULADO ALA
Si dos ángulos y el lado comprendido entre ellos son congruentes con dos ángulos y el lado entre ellos de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.

POSTULADO LLL
Si en dos triángulos sus lados son respectivamente congruentes con los del otro, entonces los triángulos son congruentes.

El teorema de Pitágoras

El teorema de Pitagoras llamado así por el matemático griego Pitagoras, es muy conocido por muchas personas como lo son los estudiantes de colegio o de universidad, se utiliza para solucionar problemas y para hallar la longitud de la hipotenusa de un triangulo si conocemos la longitud de sus catetos. Pero OJO, el Teorema de Pitágoras no puede ser usado con cualquier triangulo, solo se aplica a los triángulos rectángulos.

Y también al despejar la formula podemos hallar los otros catetos.

Como cada uno de los sumandos, representa el área de un cuadrado de lado a, b, c. Con lo que la expresión anterior en términos de áreas se expresa en la siguiente forma:

El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triangulo rectángulo, es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.

Se puede generalizar este teorema para el área de cualquier figura que se construya sobre la hipotenusa y los catetos. Como por ejemplo:

Para concluir esta entrada del blog, les recomendare que este teorema se lo aprendan muy bien ya que sera utilizado en distintas áreas de la matemática y es considerado prácticamente un teorema fundamental en este estudio.

Aprendiendo a amar la Geometría Euclidiana.

Sentir gusto por un objeto, animal o persona es muy natural, pues nuestro sentido de la vista se fija en lo que posee cualidades bellas o atractivas. Pero cada persona, se puede decir, tiene su modo de calificar y valorar la belleza que las cosas antes mencionadas tienen o de que cualidades carecen.

Enamorarse de un disciplina curricular no puede ser ajeno a nadie, pues yo creo que todos alguna vez en el colegio identificábamos en que materia nos rendía mejor, por la facilidad y atractivo que a nuestro ojos esta tenia; entonces la pregunta es, ¿de que depende que nos sintamos a gusto, y encontremos afinidad con una determinada área curricular?, para una persona no debería haber nada imposible, pues disponemos de innumerables capacidades que nos facilitan el camino cuando queremos lograr un objetivo especifico; solo es cuestión de reunir unos sencillos ingredientes: voluntad,esfuerzo, disposición, carácter, energía, decisión, responsabilidad, autodominio y claro, dominar el placer y reconocer que antes esta el deber.

En definitiva y con muchas expectativas, lo que busco es que al igual que nosotros, ustedes también se enteren de todos los bonitos y misteriosos aspectos que la geometría euclidiana trae consigo, que se enamoren de esta disciplina y la acepten como necesaria e imprescindible en los procesos que se llevan a cabo en esta sociedad, es claro que no es fácil de inicio, pues como todo, tiene su nivel de dificultad, pero una vez superado, sera entretenimiento y ejercicio para la memoria, pues se trata de estudiar todas y cada una de las figuras planas que se pueden crear con los diferentes principios que se han dado.

Las principales características de la geometría euclidiana: se encarga del estudio de las figuras geométricas planas y todas sus propiedades, busca enseñar como surgen nuevas construcciones a partir de las figuras básicas y se da así mismo explicación a los teoremas que están dados pero que a simple vista no muestran las razones por las cuales son aceptables, en esencia esto es lo que la hace atractiva porque no se trata de creer todo lo dicho sino convencernos mediante demostraciones claras y precisas el porque es cierto e irrefutable sin importar el tiempo que esto nos pueda costar.

Un ser humano se hace sabio cuando intensamente busca una solución a un enigma sin evadirlo, cuando afronta una situación y lucha incansablemente por encontrar lo que se le ha pedido.

Desde la escuela se nos han dado ciertos indicios de lo que abarca la geometría de Euclides, sin contarnos exactamente quien lo probo y por que es cierto; solo lo aceptamos como verdadero, un ejemplo puede ser cuando la profesora o profesor nos dijo que la suma de los ángulos internos de cualquier triangulo suman 180°, o cuando nos proporcionaron el conocido teorema de Pitagoras el cual nos dice que el cuadrado de la hipotenusa es igual al cuadrado del cateto opuesto mas el cuadrado del cateto adyacente; y alguna vez te has preguntado si son o no ciertas estas afirmaciones; es por ello que la geometría euclidiana tiene mucho atractivo, por que esta llena de curiosidades y en ella descubres, pruebas o hasta refutas conocimientos.

¡Lo que debes saber acerca de los triángulos!

Desde el colegio nos han hablado de que es un triangulo, los diferentes tipos de triángulos y su clasificación. Vamos a dar un breve repaso del significado, y algunos tipos de estos, ya que esto nos ayudara a comprender un poco mas lo fundamental de la geometría euclidiana, y así poder pasar a hablar acerca de lo teoremas mas básicos.

Los triángulos mas básicos según sus lados son:

Y también según sus ángulos:

Con esto podemos conocer uno de los teoremas mas básicos de la geometría Euclidiana, que son:

• La suma de los ángulos de cualquier triangulo es de 180°.
• En un triangulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, que es el famoso teorema de Pitágoras. 
• Los ángulos de un triangulo equilatero miden 60° cada uno.

Y de estos importantes teoremas de la geometría estaremos hablando en las siguientes publicaciones de este blog.

EL AMANTE INSACIABLE DE LA GEOMETRÍA.

Ustedes se estarán preguntando quien es el personaje del cual les hablo, y créanme que será de su agrado conocer la vida que llevo nuestro flamante Euclides, el padre de la geometría euclidiana.

Alejandría ciudad del norte de Egipto fue el acogedor hogar de Euclides, allí él fue el líder de un grupo de matemáticos que contribuyeron a escribir sus obras completas incluso después de su muerte y respetando su nombre en cada publicación. Interesante soñar con tener nuestro propio grupo de matemáticos investigadores verdad, un propósito no muy lejano de lograr; el dilema es, ¿que aportamos si todo prácticamente está dicho?, un camino largo que recorrer para encontrar nuevos dilemas.

Esperaba contarles mucho más sobre su infancia, como desde pequeño iniciaron sus trabajos, pero poco se conoce; aun así sus estudios no naufragaron, por suerte el trabajo de toda su vida perdura y perdurara en el tiempo, ¿Por qué? Solo por el simple hecho de ser tan general e irrefutable como que el agua moja, es decir, su obra LOS ELEMENTOS, el tratado matemático y geométrico que se compone de trece volúmenes, siendo el segundo libro en número de ediciones publicadas después de la biblia. 

Euclides tenía un gran interés por la geometría constructiva, y para empezar a construir el maravilloso mundo de la geometría (libro I), se basó en 23 definiciones, 5 postulados y 5 axiomas, mediante los cuales logra la primera demostración general conocida del teorema de Pitágoras, y no solo esto, muchas otras demostraciones que llenan nuestra cabeza de innumerables emociones por su complejidad y belleza; englobando solamente lo que constituye la geometría plana.

Para explicarles más adelante las demostraciones que Euclides realizo, debo aclarar en una primera instancia significados importantes como:

Definición: es una proposición (o conjunto de proposiciones) mediante la cual trata de exponer de manera única y con precisión la comprensión de un concepto o termino.

Proposición: Las entidades portadoras de los valores de verdad.

Postulado: es una proposición no evidente por sí misma, ni demostrada, pero que se acepta, ya que no existe otro principio al que pueda ser referida.

Axioma: es una premisa que por considerarse evidente, se acepta sin demostración, como punto de partida para demostrar otras formulas.

Premisa. Cada una de las proposiciones anteriores a la conclusión de un argumento

Teorema: proposición que afirma una verdad demostrable.

Conceptos que serán tratados a lo largo de toda la indagación que haremos sobre el maravilloso trabajo que Euclides nos heredo para comprender el ¿por que? de la geometría. 

Definiciones básicas de la geometría

La geometría surge a partir de la observación de cosas simples y relaciones comunes. En ella surgen varias ramas, como la geometría euclidiana, el cual es la rama de la geometría basada en los postulados de Euclides, la cual, en el espacio tridimensional, corresponde a nuestras ideas intuitivas sobre cómo es el espacio. Esta materia se basa en varias definiciones, como la de punto y de linea, junto con varios postulados acerca de las propiedades geométricas. Por ejemplo, uno de los postulados es que dos puntos determinan una línea recta. Con el auxilio de estos postulados y una lógica rigurosa, se demostraron un gran número de teoremas, que desarrollaron los cimientos de la geometría Euclidiana.

Veremos a continuación los cuatro principales conceptos básicos e importantes para el estudio de la geometría. No se definirán como tal, sino que se observarán objetos que lo sugieren.
El punto: Ubicación sin longitud, altura y ni anchura.
La recta: Longitud ilimitada, sin grosor ni extremos.

El plano: Ilimitado, continuo en todas las direcciones.

El espacio: Sin longitud, altura e ilimitado.

Tenemos que tener muy en cuenta la representación de estos objetos. Por ejemplo, los puntos los representamos cuando dibujamos pequeños puntos en el papel y para nombrar esos puntos se les coloca una letra mayúscula, es decir, punto A, punto B, etc.

Ahora también entran las rectas, las cuales se consideran un conjunto de infinitos puntos. Podemos darle nombre para identificarlos. Por ejemplo, los puntos S y V están es una recta por lo que se llama recta SV.

.

Por último encontramos a los planos que son un conjunto de puntos.

¿Porque la Geometría Euclidiana?

Esta es una excelente pregunta y me imagino que muchas personas se la han hecho, ya que no es una materia muy conocida como el cálculo y el álgebra, pero la geometría euclidiana o también llamada por algunos matemáticos geometría euclidea, es un estudio muy extenso, nos abre la mente de una manera geométrica y nos hace ver la vida de una manera  diferente mucho mas geométrica y creativa. Esta materia esta basada en los postulados de Euclides, varias definiciones, como las de punto y de linea, junto con varios postulados acerca de las propiedades geométricas. Con la ayuda de los postulados y definiciones se van a demostrar muchos teoremas, que nos ayudaran a entender un poco mas de la geometría euclidiana. Un problema acerca de esta geometría que utiliza hechos no demostrados ni postulados en sus teoremas desde el primero, aunque son cosas sutiles que pasaron inadvertidas durante mucho tiempo.  

Un pequeño abre bocas de lo que vamos a estar hablando en este blog, esto sera algo que se utilizara mucho en la demostración de teoremas y serán los 5 postulados de Euclides, estas preposiciones se relacionan con los conceptos básicos de la geometría:

Postulados de Euclides

1. Dados dos puntos se pueden trazar una y sólo una recta que los une.

2. Cualquier segmento puede prolongarse de forma continua en cualquier sentido.

3. Se puede trazar una circunferencia con centro en cualquier punto y de cualquier radio.

4. Todos los ángulos rectos son iguales.

5. Si una recta al cortar a otras dos, forman ángulos internos menores a un angulo recto, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en el que están los ángulos menores que dos rectos.

Pero este ultimo teorema fue re formulado por:

5. Por un punto exterior a una recta, se puede trazar una única paralela a la recta dada.